方形配列，みかんの配り方

　当ページの内容をもとに，いくつか記事を作成しましたのでご覧ください．

• トランプ配りの乗法への適用～書籍から - かけ算の順序の昔話
• 数学者は「順序」についてどのような見解を出していますか? - わさっきhb
• わり算，包含除・等分除，トランプ配り (2016.05) - わさっきhb

　京都大学名誉教授で，学校図書の算数教科書『みんなと学ぶ　小学校　算数』の代表の1人である一松信氏が，2015年1月刊行の新書『数の世界』（丸善出版）の中で次のように書き(pp.37-38)，みかんを配る問題で2×3でも3×2でもよいと解説しています．

　ところで乗法に関するこれらの諸法則は，加法の場合ほど自明とは思われません．以下普通によくある説明を試みます．
　交換法則は図1.8のように縦横に整然と並べた方形配列を考え，縦横どちらもそれぞれの並びごとに数えてまとめれば総数は同じと説明します．しかし単位にこだわって例えばみかんを3人に1人2個ずつ配る総数の計算で，2個×3＝6個を正解とし，3×2を誤りとする先生が多いというのが気になります．3人にまず1個ずつ配り，それを2回反復したと考えれば3×2＝6個で正しいでしょう．これは交換法則2×3＝3×2の説明にもなると思います．
第5章で述べるように今日の専門の数学ではa×bとb×aが等しくない「交換法則が成立しない乗法」が普遍的ですが，小学校の段階からそれを意識しすぎるのは疑問でしょう．

　他の情報源と突き合わせてみると，東京都の学力調査に「子どもが 3人 います。みかんを 1人に 4こずつ ふくろに 入れて くばります。」と，配り方を限定した出題があります*1．その指定においては「3人にまず1個ずつ配り，それを4回反復した」とするわけにいかないと解釈できますし，あるいはもし，そのような手順で，袋に入れたとしても，みかんの品種や大きさと同様に，その配り方は，何がいくつあって全部で何個なのかを求めるのには使えない情報となります．
　複数の配り方に配慮した学習指導案もあります*2．「子どもが3人います。みかんを1人に2こずつあげます。みんなでなんこいりますか」を出題しています．予想される児童の反応として，「1個ずつ置く」と「2個ずつ置く」を図とともに載せており，前者は上記引用の「3人にまず1個ずつ配り，それを2回反復した」と合致します．その指導案では，「1個ずつ置くか，2個ずつ置くかという置き方ではなく，置いた結果に着目させる」を，指導上の留意点に挙げ，式は2＋2＋2＝6です．「具体物をまとめて数える」と題した，第1学年向けの授業例*3でして，2年でかけ算を学習するにあたっての素地となります．
　もう少し，古い話を持ってきて，一松氏の記述の妥当性を見ておきます．方形配列（アレイ）を根拠の一つとして，配る問題で，かけられる数とかける数を交換したどちらの式も正しいと主張したものに，1972年の遠山啓による「6×4，4×6論争にひそむ意味」があります．しかし遠山は晩年（1979年），講演の中で「いままでの「タイル×タイル」というのは，子どもにはなかなかわからない。」と言っています．この変化は，数学教育の現代化運動の衰退を知っていれば困難なく理解できます．かけ算と現代化で連想できるのは，アレイを意味づけに取り入れたSMSGの試みであり，そのアプローチは1980年代以降の英語文献を見る限り「過去のもの」扱いとされています．
　「2個×3＝6個を正解とし，3×2を誤りとする」といった，式の中の単位の付け方にも，類例があります．1957年に出版された『算数科の教育心理』*4で，「4年1組45名で，こう堂にいすをはこんでいます。1人が1こずつ4かい運ぶと，みんなでいすは，なんこ運ぶことになるか。」という出題に対し，「A　4こ×45＝180こ」と「B　45×4＝180」の2つの式のタイプがあったとのこと．先生の指導によって，Bが「45こ×4＝180こ」（全体が1回に運ぶ数×回数＝全体で運んだ数）という意味になることを子どもたちが発見し，Bも正しいと結論づけています．ところでこれは4年生の指導です．当時かけ算を学習する3年生の段階では，順序を逆にすると間違いとされており，正しい式を書くための指導も記されています．
　他の例をいくつか引いてきて，何を主張したいのか，結局のところ一松氏の主張はダメなのかというと，決してそうは思っていません．
　かけ算の順序論争に関して，いろいろな情報を読んで，いくばくかの記事*5を自分なりに書いてきて，思い至ったのは，反論のしやすさです．
本でもブログでも，掲示板でもツイートでも，書かれた中に「これが足りないな」と気づけば，そこをツッコめば良いのです．その手段や論拠は，「普通」*6や「こだわる」を使用した印象操作でもいいし*7，昔はこうだった，あそこではこうやっているよと，他の情報をぶつけるのでも，それなりに意味のありそうな主張が作れてしまうのです．
　そういった論争を目にしたりしなかったりしながら，小学校の先生方は，いわばそんな吹きだまりなんかよりは，クラスのこと授業のこと，そして子どもたちをよく見ることに時間をかけるべきとなります．時間は有限ですし，受け持つ子どもの言動や答案を見て「これが足りないな」と気づけば，それに応じたサポートをする必要もあります．そうして，論争は，現場に背を向ける人々の間で進展していくのかもしれません．
私自身も，現場に背を向けて*8書き連ねている1人であることを自覚しています．教育関係ドメインからのアクセスをログで見たとき，自分の主張が伝わっているのだろうかと思うこともあります．
　「かけ算の順序論争は，「このように解釈できるから，その式は間違い」と「このように解釈できるから，その式は正しい」の衝突」*9なのには注意して，新たな情報を見かけたら，自分の中で検証し，記事にしていくとします．

〔メモ〕
　東北大学大学院理学研究科数学専攻助教の黒木玄氏は，季刊理科の探検（文理）2014秋号に「かけ算の順序強制問題」と題する特別寄稿をよせ，歴史的なことや教育・調査の現状を示した上で，「教科書などにある論外な教え方は教育現場からきちんと排除されるべき」「この問題は単なる氷山の一角」と主張しています．
　椙山女学園大学教育学部の浪川幸彦氏は，数学セミナー（日本評論社）2014年9月号の連載記事「変化と関係」の脚注に，「子どもが足し算（あるいはかけ算）の意味がきちんと分かるようになるまでは表示の順序は厳密であるべきで，それが自由にできるようになったら気にしなくてもよい」と記し，教育的な観点から見たときの結論としています．
　大妻女子大学名誉教授で数学教育協議会委員長を務めた野崎昭弘氏は，数学教室（国土社）2013年7月号の連載記事「掛け算・割り算の常識」の中で「4人に2つずつ，りんごを分けるときの，りんごの総数」が4×2ではよくない場合について，「① 掛け算の意味を「1当たり量×いくつ分」として，丁寧に説明していて，② それがわかっていない子に，順序の混乱が現れている と見られる場合」を例示しています．
　中央大学経済学部教授で数学教育協議会委員長を務めた小林道正氏は，2012年に著書『数とは何か?』（ペレ出版）の中で，「かけ算の意味」「かけ算の順序」という項目を設け，3個/皿×4皿＝12個でも4皿×3個/皿＝12個でもよいとし，「「意味のないこと」「無駄なこと」「間違ったこと」を一生懸命教える先生がいなくなることを願うばかりである。」と述べています．

数の世界 (サイエンス・パレット)

季刊 理科の探検 (RikaTan) 2014年 10月号

数学セミナー 2014年 09月号 [雑誌]

数学教室 2013年 07月号 [雑誌]

数とは何か?―1、2、3から無限まで、数を考える13章 (BERET SCIENCE)

*1:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130219/1361220251#1 http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20131026/1382734792

*2:[isbn:9784180808335] p.66

*3:啓林館の教科書に載っています．http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140703/1404313204

*4:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130425/1366840221#1

*5:2015年2月2日までで，カテゴリー[5×3]は302記事で1,931,232文字．カテゴリー[OoM]は190記事で1,033,812文字．字数は，はてなダイアリー記法によります．

*6:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20141021/1413842515

*7:『数の世界』p.41では，単位の換算を例に挙げてから「教育上ではこの種の自由な発想・解釈を許容すべきです」と書いて段落を終えていますが，3人に2個ずつみかんを配る問題に立ち返ると，「3×2＝6」の式に対して，「それだと3個ずつ2人に配ることになっちゃうよ」や「3人が2倍で6人になっちゃうよ」といった意見が出ないような授業が許容されるのか，そういった意見が出た上で「3×2＝6も正しい」と結論づける教育が「自由な発想・解釈」に当たるのか，中国の「量の扱いではやはり不具合があって」http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20121219/1355868481が発生してしまわないかは，気になるところです．

*8:では学校現場に足を運べば，かけ算が，算数教育が本当に分かるのかというと，そうとも思っていません．http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20121115/1352985724より：なお，学校へ行って見ているかどうかは，よほど全国を飛び回って多数の授業などを見ている先生でなければ，論争に役立ちません．なぜなら，「ええ，学校で見ていますよ」と答えたところで，「あなたの知っているのは，ごく限られた範囲に過ぎないんじゃないの?」と返されるのが目に見えているからです．

*9:http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130805/1375652817