いきなりですが問題です．
下の図の四角形ABCDで，AD//BC，AB＝AC，BD＝BC，∠BAC＝90°であるとき，∠ABDの大きさを求めなさい。
次の2種類の方法で，考えてみてください．
- 中学数学の範囲内で，理由を説明する．
- ワンライナーで，答えとなる値だけを出力する．
さっそくですが解答です．∠ABD＝15°です．
まずは中学数学の範囲内で検討します．三角形ABCは，∠A＝90°の直角二等辺三角形ですので，∠ABC＝∠ACB＝45°です．三角形BCDは，BD＝BCの二等辺三角形ですので，∠BCD＝∠BDCです．またAD//BCより，平行線の錯角に留意すると，∠DAC＝∠ACB＝45°，∠ADB＝∠DBCです．
これだけ，角度の情報が分かれば，一つの三角形に着目し，内角の和が180°になることを使って，∠ABDが求められそうにも思います．そこで，∠ABD＝x°とおいて，三角形ABDの内角の和を考えてみますと，∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°のうち，∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝135°，∠ABD＝x°はいいとして，ちょっと困るのは，∠ADB＝45°−x°となることです．そうすると，∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°の式の左辺に代入すると，xが消えてしまい，式は180°＝180°となってしまいます．
別のアプローチをとります．AとDから，線分BCに垂線を引き，BCとの交点をそれぞれFとEとします．
AF⊥BC，DE⊥BCと書くこともできます．線分FEは線分BCの一部であることにも注意します．
そうすると，AD//FEですので，四角形AFEDは，すべての角が直角の長方形となります．長方形の向かい合う辺の長さは等しいことから，DE＝AFを得ます．
辺の長さについて，三角形ABCが直角二等辺三角形であることに注意すると，AF＝BF＝CF＝BCが言えます．そして，DE＝AF＝
BC＝
BDとなります．
ここで三角形BEDに着目します．
∠BED＝90°の直角三角形です．加えて，DE＝BDであることから，三角形BEDは，1辺の長さがBDの正三角形の半分の形（正三角形を線分BEでカットしてできる図形）であることが分かります．三平方の定理を学習した後なら，DE：BD：BE＝1：2：
と表現するのが，分かりやすいでしょうか．
そうすると，∠DBE＝30°（正三角形の一つの角の半分）であり，∠ABD＝∠ABC−∠DBE＝45°−30°＝15°として，求めるべき角の大きさが計算できました．
ワンライナーは，Rubyで実行することにします（本日の記事の図形も，Rubyで座標を求めて，作図したのでした）．その前に，AからDまでの4点を，平面座標で表すことにします．Bを原点とします．つまりB(0,0)です．また，C(1,0)，A(,
)とします．
Dの座標は計算で求めます．D(x,y)とおいたとき，AD//BCより，DのY座標はAのY座標と等しく，y＝です．次に，BD＝BC＝1であり，BD＝
ですので，既知のyの値，およびx＞
を考慮すると，x＝
となります．D(
,
)というわけです．
ではワンライナーを示します．以下のコマンドで「15」を出力します．
ruby -e "puts ((Math.atan2(0.5,0.5)-Math.atan2(0.5,Math.sqrt(3)/2))/Math::PI*180).round"
Math.atan2は，yとxを引数にとり，y/xの逆正接（アークタンジェント）の値を弧度法で返します．前者のMath.atan2の呼び出しは，∠ABCに対応する角の大きさを，また後者は∠DBEを，それぞれ求めることになります．引き算してから，弧度法を度数法に変換するためのわり算とかけ算を行います．そのままだと，手元の実行環境では「14.999999999999996」と出力してしまうので，四捨五入を行うroundメソッドを入れています．
なお，問題をもらった際には「中3生の模試の問題なのですが，私はもちろん，現役国公立大生や数学科の大学生誰1人解けないという超難問（笑）」が添えられていました．そんなことないでしょう．教科書レベルとは言いがたいですが，中学数学を教えている，塾の先生や家庭教師なら，問題を見て1分もかからずに，生徒に解き方を説明できるのではないかと思います．
さらに言うと，直角二等辺三角形と，30°60°90°の直角三角形の性質を理解していれば，小学生（たとえば私立中学の受験生）でも解くことのできる内容です．
（最終更新：2017-10-10 朝．タイトルを「∠ABDの大きさを求めなさい」から変更したほか，細部を修正しました）
