《かけ算に順序はない》世界

【Twitter経由でお越しの方へ：2011年の検討の結果は「倍」と「積」から学んだことを，2013年11月時点の認識はかけ算の順序論争について（日本語版）ならびにツイート感謝をご覧ください．本記事は古い内容です．
1960〜70年代のSchool Mathematics Study Group (SMSG)の興廃，遠山啓の講演の「タイル×タイル」，中国の状況などから，国内外において，「かけ算に順序がない」という考えや教育方法には課題があり，その解決法，さらには，一貫した算数・数学教育カリキュラムが提案されていない現状では，日本の教育がその考えを採用することはなさそうだ，という理解に至っています．】

「５×３をめぐるお話」に書いた2つのお話は，《かけ算に順序はない》世界で，そこからどんなトラブルが起こるだろうか，イメージを膨らませて創作したものです．
以下その解説です．

準備

《かけ算の原則》：「１つ分の大きさ」×「いくつ分」＝「全体の大きさ」
《ＡＢ型》：文章題で，Ａ，Ｂの順に数が現れ，《かけ算の原則》に基づきＡ×Ｂ＝Ｐの形で式を立てることが期待される問題．
《ＢＡ型》：文章題で，Ａ，Ｂの順に数が現れ，《かけ算の原則》に基づきＢ×Ａ＝Ｐの形で式を立てることが期待される問題．
《かけ算に順序はない》：《ＡＢ型》では「Ａ×Ｂ＝Ｐ」と「Ｂ×Ａ＝Ｐ」の両方を，また《ＢＡ型》でも「Ａ×Ｂ＝Ｐ」と「Ｂ×Ａ＝Ｐ」の両方を，正解とする価値観．名詞としても，「《かけ算に順序はない》世界」のように形容詞としても用います．
かけ算以外（累加など）による立式は，考えないことにします．

第1話の解説

《問1a》：チョコレートを５こずつ３にんにくばります。チョコレートは何こひつようですか。
《問1b》：５にんにチョコレートを３こずつくばります。チョコレートは何こひつようですか。
チョコレートの総数はともに「１５個」です．
そして，《かけ算に順序はない》世界では，《問1a》《問1b》ともに「５×３＝１５」を正解とします（「３×５＝１５」も正解としますが，このことは，使用しません）．そのため，「５×３＝１５」を，まず《問1a》の正解となるよう子どもたちにイメージさせ，あとで《問1b》の意味なのだと居直ることができてしまうのです．
一方，《かけ算に順序はない》を前提としないなら，《問1a》は《ＡＢ型》なので「５×３＝１５」のみを，《問1b》は《ＢＡ型》なので「３×５＝１５」のみを，それぞれ正解とします．「５×３＝１５」は，《問1b》の正解となりません．2回目の「ごさん，じゅうご!!」は，言わなかったでしょうね．

第2話の解説

《問2a》：５まいのさらに３こずつりんごをのせます。りんごは何こひつようですか。
《問2b》：５まいずつさらをはこにいれます。はこは３こあります。さらは何まいひつようですか。
求めるべき数量は，《問2a》では，「りんごが１５個」，《問2b》では「皿が１５枚」です．
《かけ算に順序はない》世界では，《問2a》では「５×３個＝１５個」，《問2a》では「５枚×３＝１５枚」が正解に含まれます（他にも正解になる立式はありますが，省略します）．ここから単位を取り除くと，ともに「５×３＝１５」です．
「５×３個＝１５個」の左辺に交換法則を適用して得られる「３個×５＝１５個」と，「５枚×３＝１５枚」は，ともに何の何倍の形，あるいはサンドイッチと呼ばれる立式で，《かけ算に順序はない》人々からは嫌われています．なのでこれを使わない式で説明し直しますと，「皿　５枚×３個　りんご」を書いて渡した支配人は，例えばトランプ配りから，「５個/回配る×３回配る＝１５個」を念頭に置いていたのに対し，「皿　５枚×３個　りんご」と書かれた紙（もしくは指示）を受け取って作業した従業員は，りんごが見当たらないこと，そしてりんご箱があることから，「５枚/箱×３箱＝１５枚」と単位を変えた，という次第です．
一方，《かけ算に順序はない》を前提としないなら，《問2a》は《ＢＡ型》なので「３個×５＝１５個」，《問2b》は《ＡＢ型》なので「５枚×３＝１５枚」が正解に含まれます．それぞれ，単位を取り除くと，《問2a》は「３×５＝１５」，《問2b》は「５×３＝１５」となり，異なります．また，「３個×５＝１５個」だからといって，「５×３個＝１５個」とは書きません．

補足

《かけ算の原則》《かけ算に順序はない》は，乱暴なラベリングのようです．誤解を招かないようにするには，それぞれ《かけ算立式の原則》《かけ算の立式において順序はない》と書くべきでしょう*1．
とはいえ，これは些細な問題です．というのも，かけ算の順序をめぐる論争に携わっている多くの人は，単位を取り除いた状態のとき（量ではなく数として見たとき），順序は交換可能であること，例えば５×３＝３×５であることについて，これを否定することはないからです．
数量（量とも言います）を含む文章題や事例に対して，かけ算の式で表すときに，「ある状況では，Ｓ×Ｔ＝Ｕを受け入れるが，Ｔ×Ｓ＝Ｕは受け入れない」という考え方と，「Ｓ×Ｔ＝Ｕを受け入れるのなら，必ず，Ｔ×Ｓ＝Ｕも受け入れる」という考え方があり，後者が《かけ算に順序はない》と一致します．なお，それぞれの式において，単位を付ける付けないの区別も考慮に入れると，話が複雑になるのですが，今回は書く側が最も楽な《無頓着派》を採用しています．
第1話，第2話とも，参加者はみな《かけ算に順序はない》世界にいるものとして，ストーリーを作りました．しかし，実際には一部だけ，具体的には第1話はパパだけ，第2話は支配人だけが，《かけ算に順序はない》としても，いちおう話は通じます．
物品とその単位を変えれば，話はもっともっと作ることができそうです．そして私自身は，これらのお話を，《かけ算に順序はない》の根本的な欠陥によるものだとは思っていません．実際のところそれぞれにアラがあって，そこを追及することによって，《かけ算に順序はない》の課題を回避できるようにすることが（おそらく常に）可能だからです．
お話はいずれもフィクションであり，かけ算の順序をめぐる検討を経て出来上がった，個人的な成果なのです．そして，もう少しお話を作ってから，《かけ算に順序はない》を前提としない住人ばかりの世界で，トラブルを生むような（《かけ算に順序はない》人の間ではトラブルにならないような），かけ算の式をめぐるストーリーが作れないかとも，考えているのです．