また，杉山は，計算法則を一般的には加法についての交換法則，結合法則，乗法についての交換法則，結合法則，分配法則，四則の相互関係，代数的構造を考えるときの公理となるもの（閉包性，加法の単位元，逆元の存在，乗法についての単位元，逆元の存在など）であるとしている。そして，小学校の算数で法則を活用することを，次のように述べている。
「小学校の算数で法則を活用することを考えようとするならば，その法則は加法，乗法の意味に直接つながったものの方がよい。」(p.275)
〔加法についての結合法則〕a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c「加法では，たす数を大きくした分だけ，その和は大きくなる。」
〔乗法についての結合法則〕a×（b×c）＝（a×b）×c「かけ算では，かける数を2倍，3倍，…すると，積も2倍，3倍，…となる。」
（中村享史「小学校算数科における乗法・除法の計算法則の指導」, 『続・新しい算数数学教育の実践をめざして―杉山吉茂先生喜寿記念論文集』p.52）
本題に入る前にいくつか．「(p.275)」は，杉山吉茂「公理的方法に基づく算数・数学の学習指導」(1986)からで，復刻版が2010年に刊行されています．上記の執筆者・中村享史氏は，『数学教育学研究ハンドブック』第3章 教材論 §2 演算の意味・手続き(pp.73-82)も執筆しています．演算の意味については，ここでいくつか書き出していますが，そのセクションを読み直してみると，計算法則に関する，上の引用についても，a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c，a×（b×c）＝（a×b）×cの式はないものの，同様のことが記されていました．
それで本題なのですが，最初に「かけ算では，かける数を2倍，3倍，…すると，積も2倍，3倍，…となる。」を読んだとき，何だこれ，比例の話が結合法則なのか，と勘違いしてしまいました．読み直して，意図を理解できました．
式を用いないこの文は，「a×b＝p」という式を起点とするのがよさそうです．aはかけられる数，bはかける数，そしてpは積です．
次に，「a×（b×c）＝p'」と書きます．この左辺が，「かける数を2倍，3倍，…する」に対応します．
a×（b×c）＝（a×b）×cを所与*1とすると，p'＝p×cという式を得ます．そしてこれが，「積も2倍，3倍，…となる」を表した関係式となるわけです．
別の見方をすると，a×（b×c）＝（a×b）×cについて，「2倍，3倍，…」は両辺とも「×c」を指します．しかし違いもあって，左辺では，×cの対象は，かける数すなわちbであり，右辺では，積のa×bです．倍指向の結合法則，と呼びたいところです．
結合法則は自分自身，代数系の入門書で理解し，またプログラミングだったかアルゴリズムだったかの本の中で，文字列の連接は，空文字列を単位元として，モノイドになると学習しました．
「かけ算の順序」論争を通じては，一つは，交換法則と合わせて「演算の順序は問わない」こと，もう一つは，3口のかけ算の文章題で，式の意味を考えるとa×（b×c），（a×b）×cともに意味があり（しかし例えば（b×c）×aはおかしい），それぞれの計算結果が等しいことを確認する，という授業例を見てきました．
「かけ算では，かける数を2倍，3倍，…すると，積も2倍，3倍，…となる。」が目で見て分かる，日常生活の例を，これから探してみるとします．
*1:「すでに証明された事柄」とするのでも，「これから証明をする命題」とするのでも，かまいません．
